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V2EX 提问指南
MarioLuisGarcia
V2EX  ›  问与答

抛硬币 10 次,最后结果中有 5 次连续正面朝上的几率如何计算?

  •  
  •   MarioLuisGarcia · 2014-04-06 18:01:14 +08:00 · 12994 次点击
    这是一个创建于 3868 天前的主题,其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。
    以A作为正面,B作为反面。 ABBAAAAABA 即符合有5次连续正面朝上的要求。
    51 条回复    1970-01-01 08:00:00 +08:00
    casparchen
        1
    casparchen  
       2014-04-06 18:05:59 +08:00
    6次算么
    yangff
        2
    yangff  
       2014-04-06 18:08:24 +08:00
    首先固定一串A,然后考虑把这个5个A放在序列的某个位置。
    假设放在位置x,也就是说x-1一定是B,接下来5个肯定是A,剩下的位置随意。
    统计一下有多少种序列,除以2^10就行了……
    其实还有一种比较diao的计数方法,不过这里反正用不上。。
    ybbswc
        3
    ybbswc  
       2014-04-06 18:09:13 +08:00
    把5个A作为一个量,其他五个作为5个量。然后计算概率。
    具体怎么算我给忘了,但是原理应该是这样。
    ybbswc
        4
    ybbswc  
       2014-04-06 18:10:35 +08:00
    A66 / 2^10 ?
    ybbswc
        5
    ybbswc  
       2014-04-06 18:11:41 +08:00
    不对,不是这样。
    MarioLuisGarcia
        6
    MarioLuisGarcia  
    OP
       2014-04-06 18:12:16 +08:00
    @casparchen 算,大于5次的都算。 还有,我怎么不能附言了。
    ybbswc
        7
    ybbswc  
       2014-04-06 18:15:33 +08:00
    21.875%?
    acros
        8
    acros  
       2014-04-06 18:15:56 +08:00
    就是6!/10!吧·····
    acros
        9
    acros  
       2014-04-06 18:17:19 +08:00
    @acros 完了,排列组合的公式我都想不起来了····
    ybbswc
        10
    ybbswc  
       2014-04-06 18:19:03 +08:00
    @acros 智商已废。原来高中是我人生智商最高的时候~~~
    MarioLuisGarcia
        11
    MarioLuisGarcia  
    OP
       2014-04-06 18:28:52 +08:00
    @ybbswc 我是这么算的, 总共可能的结果是2的10次方=1024种。 把5个正面朝上的硬币看成一个对象S,和剩下的5个硬币排序,因为剩下5枚硬币都是identical的, 总共有6种排序方式。而每种排序方式都有2的5次方的可能结果。所以总的5次正面朝上的可能结果是6 * (2^5) = 196 。概率 = 196/1024 =0.1875
    acros
        12
    acros  
       2014-04-06 18:30:42 +08:00
    @ybbswc 仔细想了下。
    将五个事件当作一次抛掷,一共2的6次事件。
    分母是2的10次。

    答案是 64/1024?

    召唤高中生······
    MarioLuisGarcia
        13
    MarioLuisGarcia  
    OP
       2014-04-06 18:37:19 +08:00
    @acros 我觉得我那种算法里有重复的部分没有剔除。不过你这种算法的话,掷20次得到5次正面向上的概率不是和掷10次一样? 掷20000次得到5次正面向上的概率也和掷10次一样!
    loading
        14
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       2014-04-06 18:37:40 +08:00 via iPad
    分母应该没人有意见

    分子:把5个正连起来,把5连正会出现的5个位置的算出来(注意排除5连正前一位为正的情况)
    应该是这样,有时间我算算
    YouXia
        15
    YouXia  
       2014-04-06 18:38:12 +08:00 via Android
    全部组合-0次-1次-2次-3次-4次。
    yangff
        16
    yangff  
       2014-04-06 18:42:33 +08:00
    @MarioLuisGarcia
    令X代表五个A,Y代表未定义
    对XYYYYY着色得到[Five]ABBBB
    对YXYYYY着色的到A[Five]BBBB
    但两者本质相同。
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       2014-04-06 18:46:11 +08:00 via iPad
    五连正在12345位:2^5
    在2345位:2^1+2^4-1 (排除1位出现正)
    以此类推
    yangff
        18
    yangff  
       2014-04-06 18:49:20 +08:00
    顺便一说如果我没有理解错的话答案是112/1024=0.109375
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        19
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       2014-04-06 18:51:11 +08:00 via iPad
    (32+17+11+11+17+31)/1024=
    129/1024=

    0.126
    robbielj
        20
    robbielj  
       2014-04-06 18:56:53 +08:00
    (2*2^4+4*2^3)/2^10=0.0625

    连A有5次的情况只有6种
    1-5,2-6,3-7,4-8,5-9,6-10
    但是因为这5次连a的头尾不能又是A(比如要BAAAAABXXX)
    所以剩下能自由排的只有3个
    1-5,6-10能剩4个因为靠头和末尾
    MarioLuisGarcia
        21
    MarioLuisGarcia  
    OP
       2014-04-06 19:10:52 +08:00
    @loading 112如何得出的?
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        22
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       2014-04-06 19:15:52 +08:00 via iPad
    @MarioLuisGarcia 我的是包括6连到10连的,如果我数学老师没改成体育老师的话
    creamiced
        23
    creamiced  
       2014-04-06 19:29:40 +08:00
    如果包含5连、6连...10连的话就是6*2^5/2^10=0.1875
    如果只有6连而排除6连及以上的情况,就是(2^3 + 2^4 + 2^4 + 2^4 + 2^4 + 2^3)/2^10=0.0625
    skydiver
        24
    skydiver  
       2014-04-06 19:30:22 +08:00
    6*2^5 / 2^10 = 6/128
    creamiced
        25
    creamiced  
       2014-04-06 19:30:49 +08:00
    @creamiced 哎呀,第二行应该是“如果只有5连...”
    robbielj
        26
    robbielj  
       2014-04-06 19:46:44 +08:00
    @creamiced
    只有5连的情况就是这样和我想的一样
    但是如果考虑5连以上也包含就不能直接6*2^5
    因为会重复 比如任何5连A的情况下,剩下5个可能也是全A,6*下这种情况被重复计数了

    要的话就是把只有6连A,7连A,8连A,9连A,10连A所有情况的全部加起来
    alexrezit
        27
    alexrezit  
       2014-04-06 19:55:23 +08:00
    用一种最无脑但最清晰的方式解吧:

    所有可能的情况有 2^10 种.

    仅 n 连且 10-2 > n >= 10/2 的时候可能的情况有 2*2^(10-1-n) + (10-1-n)*2^(10-2-n) 种. 仅 10 - 1 连的情况有两种, 10 连的情况有一种.

    结果是 112/1024 = 7/64. 没验算过, 不过既然楼上已经有 @yangff 得出相同结果应该就没错了.

    用到的知识就是数列求和加统计学基础, 高二水平数学题, 解错的可以去面壁了.
    zangge1984
        28
    zangge1984  
       2014-04-06 19:58:17 +08:00
    你描述的应该是至少连续五次正面。
    6*(2^5)/(2^10)=0.1875
    creamiced
        29
    creamiced  
       2014-04-06 21:03:51 +08:00
    @robbielj 你说得对。
    我重新算了下,是7/64
    概率问题太容易想当然了,我去面壁了
    alexrezit
        30
    alexrezit  
       2014-04-06 21:11:57 +08:00
    @creamiced

    恭喜!
    解锁成就: 统计学基础 √

    真没想到这种概率问题会难倒一大批人... (龙儿快回去给大河妹妹做饭!)
    SoloCompany
        31
    SoloCompany  
       2014-04-06 23:00:08 +08:00
    没看到连续这个前提,所以答案直接就说是50%了
    有了连续这个前提,那么
    刚好连续10个1是 1 = 1
    刚好连续9个1是 1 + 1 = 2
    刚好连续8个1是 2 + 1 + 2 = (3 + 2) * 1
    刚好连续7个1是 4 + 2 + 2 + 4 = (4 + 2) * 2
    刚好连续6个1是 8 + 4 + 4 + 4 + 8 = (5 + 2) * 4
    刚好连续5个1是 16 + 8 + 8 + 8 + 8 + 16 = (6 + 2) * 8

    貌似也只能这么算了
    taued
        32
    taued  
       2014-04-06 23:29:52 +08:00
    就是5个连续从第一位开始(第六位不是,后面随便),5个连续从第二位开始(第七位不是,后面随便)。。。。。

    1. 前面5个是正面,第六个是反面,7 8 9 10无所谓 2^4/2^10 = 16/1024
    2. 第一个是反面,2-6正面,7是反面,8 9 10 无所谓 2^3/2^10 = 8/1024
    3. 第一个随便,第二个是反面,3-7是正面,8是反面,9 10无所谓 ( 2^1 + 2^2)/2^10 = 6/1024
    4. 1-2随便,3反,4-8正面,9反,10随便 ( 2^2 + 2^1)/2^10 = 6/1024
    5. 同2 8/1024
    6. 同1 16/1024

    (16+8+6)*2 / 1024 = 60/1024 = 15/256
    diseng1991
        33
    diseng1991  
       2014-04-06 23:31:09 +08:00
    把5个看成1个就行了 1C6*2^5/2^10
    BOOM
        34
    BOOM  
       2014-04-06 23:41:55 +08:00 via iPad
    斐波那契数列可以?
    wuyazi
        35
    wuyazi  
       2014-04-06 23:52:17 +08:00   ❤️ 1
    6*1/2^5 - 5*1/2^6 = 7/64
    貌似是这样的
    skydiver
        36
    skydiver  
       2014-04-07 02:51:48 +08:00
    http://gist.github.com/anonymous/82917d7405e96f1e031f

    写了个脚本跑了一下,证明答案是7/64……

    @wuyazi 这个后面的 5*1/2^6 是怎么来的
    skydiver
        37
    skydiver  
       2014-04-07 02:52:54 +08:00
    skydiver
        38
    skydiver  
       2014-04-07 02:54:10 +08:00
    skydiver
        39
    skydiver  
       2014-04-07 02:55:49 +08:00
    http://gist. github.com /anonymous/10010100 gist贴不上。。谁能贴帮贴一下
    Epsil0n9
        40
    Epsil0n9  
       2014-04-07 04:39:08 +08:00
    @wuyazi 最简洁!
    alexrezit
        41
    alexrezit  
       2014-04-07 05:29:46 +08:00 via iPhone
    @skydiver
    @wuyazi 的方法是全排再去重的. (6*2^5-5*2^4)/2^10 这样就好理解了.
    wuyazi
        42
    wuyazi  
       2014-04-07 08:32:37 +08:00 via iPhone
    @skydiver
    可以写成(n-a+1)*(1/2)^a-(n-(a+1)+1)*(1/2)^(a+1)
    可以理解成:
    n次中有a次连续的情况有(n-a+1)种,每种情况的概率为(1/2)^a,其中(a+1)次连续的情况被重复计算了2遍,(a+2)次的情况被重复计算了3遍...n次连续的情况被重复计算了(n-a+1)遍。
    现在要计算(a+1)次连续的情况,套用上公式就是(n-(a+1)+1)*(1/2)^(a+1),这样(a+1)次连续的情况被重复计算了1遍,(a+2)次连续的情况被重复计算了2遍...n次连续的情况被重复计算了(n-(a+1)+)遍。
    两者一减就是a次连续到n次连续都被计算一遍的概率啦。
    和 @alexrezit 的去重道理上差不多。
    s51431980
        43
    s51431980  
       2014-04-07 11:25:45 +08:00   ❤️ 1
    楼主没说清问题,是只有5次,还是5次或以上,后者要容易算的多,前者的话 @taued 的是一种常用的思路,但细节出错

    @taued
    3 4 两种情况应该是 ( 2^1 * 2^2)/2^10 = 6/1024 不是 ( 2^1 + 2^2)/2^10 = 6/1024
    中间是*,不是+
    iLluSioN
        44
    iLluSioN  
       2014-04-07 11:29:59 +08:00
    112/1024吧
    正面Y反面N,在序列两端(边界处为一段)加上反面,[?N(Y^k) / ?N(Y^k)N?/ (Y^k)N?]
    F(k|k < 10) = 0.5^(k+1) + (9-k) * 0.5^(k+2) + 0.5^(k+1)
    F(10)= 0.5^10

    sigma(F(k), 5 <= k <= 10)
    champage
        45
    champage  
       2014-04-07 11:33:49 +08:00 via Android
    我能说高达上么
    taued
        46
    taued  
       2014-04-07 13:26:53 +08:00
    @s51431980
    确实。。当时没想太多。两边应该是独立的事件。 这样算就是 3 4 应该是8种情况。
    56/1024 = 7/64
    zakokun
        47
    zakokun  
       2014-04-07 14:23:35 +08:00
    疯了疯了,高中的基础题居然讨论的这么热火朝天.....
    zakokun
        48
    zakokun  
       2014-04-07 18:34:51 +08:00
    泪流满面...测试了下,果然是7/64 我算了半个小时...
    <script src="https://gist.github.com/zakokun/10017946.js"></script>
    zakokun
        49
    zakokun  
       2014-04-07 18:36:45 +08:00
    @zakokun 好吧,第次看别人用gist...
    https://gist.github.com/zakokun/10017946
    Epsil0n9
        50
    Epsil0n9  
       2014-04-07 18:43:10 +08:00
    @alexrezit 不愧是受到虾神倾慕的邪王真眼! O(∩_∩)O~
    alexrezit
        51
    alexrezit  
       2014-04-07 19:18:03 +08:00 via iPhone
    @Epsil0n9
    我是弱渣... 算法什么的完全不会です... /w\
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