闭集的无穷并证明过程有逻辑断链吧？

[huzhikuizainali]

请看下图证明过程（出自普林斯顿数学分析 P101 ），用阿基米德性质得到一个严格小于不等式，但是据此却得到了一个 x 属于闭集的结论。这一点难以接受。

或许你会说严格小于推出小于等于是可以的。针对这个说法我有两点疑问：

1 、这一步是从开集(x 属于左闭右开区间转化成闭集)转化成闭集的关键一步，很难用这个理由完成转换。因为结论就是要证明闭集的无穷并不是闭集。

2 、如果严格小于能丝滑推出小于等于。那么最终的结论我是否可以这样修改 An(从 1 到无穷的并)=[0,2)=[0,2]，因此闭集的无穷并还是闭集。同样的理由我就可以推翻整个证明结论！

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[zizon]

括号里的不是说明了理由么...?
你要能找到 n>=2 使得 2 in A_n,即满足自然数 n,使得 0 <= n <= 2-1/n.

[lance6716]

人家要证的是“闭集的无穷不一定是闭集，有可能是开集”吧，你的推翻只是回到了一个平凡情况

[necomancer]

严格小于当然能丝滑地推出小于等于，但反过来不行于是二者不等价。你要不还是先看看分析的基础或者是 sets and logic ，A<B -> A<=B, 但反过来不行。但 A=B->B=A ，或者说 A in B and B in A -> A=B 。所以无穷 An 的并=[0, 2) in [0, 2]，所以无穷 An 的并当然 in [0, 2]，但无穷 An 的并等于[0, 2)，搞清楚等于号的用法再来推翻结论。我都不能理解这个例子的逻辑哪里能让人产生疑问：1.构造 An=[0, 2-1/n]，2. 2 not in any An ，3. 于是无穷并 An 可以取[0, 2)里所有的数字但无法取 2 ，于是闭集无穷并可以是一个开集。你非要加上一个因为 in [0, 2)我可以说 in [0, 2]所以就推翻了？

[necomancer]

这里的等于关系就是他的证明，意思是如果 x in [0, 2) 则总有一个 An 包含 x ；反之如果 x in 无穷并 An ，则 x 除了 2 谁都能取到，所以 x in [0, 2)于是无穷并 An=[0,2)。