怎样正确地将 1 升水随机分成 3 份

[qinjiannet]

之前一直认为将 1 升水随机分成3份应该这样操作：

第 1 份，从 1 升水中取出 X 升， X 是[0, 1]之间的随机数

第 2 份，从剩下的水中取出 Y 升， Y 是[0, 1 - X]之间的随机数

第 3 份，剩余的水为 1 - X - Y

但实际上这样并不等同于“随机分成3份”

（惊讶脸）

正确的做法貌似是这样的：

第 1 份，从 1 升水中取出 X 升， X 是[0, 1]之间的随机数

第 2 份，从 1 升水中取出 Y 升， Y 是[0, 1]之间的随机数，若X + Y > 1，则从第1步重新开始

第 3 份，剩余的水为 1 - X - Y

如果将题面换成：

在长度为一米的木棒上任取两点将木棒分成三段

“任取两点”的定义是否明确？

第一种分配方法 3 份水的期望是： 1/2 ， 1/4 ， 1/4

第二种分配方法 3 份水的期望是： 1/3 ， 1/3 ， 1/3

受小伙伴回答的启发，新增了这个贴子： https://www.v2ex.com/t/320661

[banixc]

所以什么叫做“随机分成 3 份”。
这里“随机”的定义是什么？

[DiamondbacK]

正确的做法是：
先给出「随机分成 3 份」的操作性定义，再执行这个操作。

概率论民科的一大原罪就是越过定义讨论问题。
参考「贝特朗悖论」。

[cgcs]

恩，照一般逻辑理解：

随机生成三个[0,1]之间的随机数， A,B,C

SUM = A + B + C

第一份水 = A/SUM （升）
第二份水 = B/SUM （升）
第三份水 = C/SUM （升）

[Quaintjade]

不是很喜欢“从第 1 步重新开始”这种做法，因为总有倒霉蛋会重复好多次，次数的方差比较大。

抛开水这个比方，其实就是随机三分线段。更好得做法应该是，若 X+Y<=1 ，则三份水为{X,Y,1-X-Y};否则{1-X,1-Y,X+Y-1}。

[murmur]

闭着眼睛扬出去两瓢就完了

[binux]

拿 3 个大盆放地上，站三楼，把水浇下去

[qinjiannet]

@Quaintjade 感谢，学到了一种新方法！

[qinjiannet]

@banixc @DiamondbacK 新增了一条附言：

如果将题面换成：

在长度为一米的木棒上任取两点将木棒分成三段

“任取两点”的定义是否明确？

[Herobs]

取 3 个 [0-] 随机数 X ， Y ， Z ， SUM = X + Y + Z

结果就是 X / SUM, Y / SUM, Z / SUM

[Herobs]

发现和 #3 一样。。。

[NeinChn]

结果是 X / SUM, Y / SUM, Z / SUM 的需要优化一下
浮点数都是有误差的
所以应该是 X / SUM, Y / SUM ， SUM - X / SUM - Y / SUM
否则加起来不是 SUM

[murmur]

@NeinChn 与其优化你的浮点数不如找点无残留的理想容器

[menc]

你们光说不行啊，要给出形式化的证明啊，证明期望符合每桶各 1/3 的水
@cgcs
@Quaintjade
@qinjiannet

[murmur]

@menc 你这题面自始至终就没提到过 1/3 这个问题 而且按自然的说法大量的事件统计起来应该印象中是泊松分布？

没人告诉你期望是 1/3 如果要 1/3 的随机数题面要给明的

[lecher]

简化问题不过是线段内任取两点即可。
直接取两个[0-1]随机数， A1 、 A2
则 0-1 之间的距离自然就会被 A1 、 A2 分成三段，并且 A1 、 A2 满足题目要求的随机性。

剩下的就是， A1 、 A2 排个序，假设 A2 是大数，然后第二份的数量是|A2-A1|， 第三份的数量是 1-A2

[lecher]

简化成图片大致就是这个样子。
A1 、 A2 为线段上面的两个随机数，且 A2>A1 。
最终计算出来的三份线段长度就可以满足题目要求的随机性： A1 、 A2-A1 、 1-A2

0-----------A1-------------------A2------------------1
|<--A1--->|<---(A2-A1)--->|<---(1-A2)---->|

[banixc]

@qinjiannet 如果换成木棒的说法，那这个题目的回答应该是这样：
第一步：取 0 < x ,y < 1
第二步：第一份水为 x' = min(x,y) 第二份为 y'= abs(x-y) 第三份为 1-x'-y'
目前我还没有想到如何证明这种取法和原本的取法是等效的。

[murmur]

好吧，喷了半天我才明白楼主要的点是什么
（ 1 ）作为理工科，严谨性是第一的，在自然界均匀分布并不是那么好找的，反倒是什么泊松分布了，高斯分布了比较好找，如果是真人倒水的话，第一下绝大多数我认为会选择 1/2 以下，因为倒太多了第二次倒什么啊，理想容器这些情况也不能少，高中都知道的东西怎么在网上提问就忘了呢？
（ 2 ）你可以去翻翻概率论的书，这个题实际上是给定 x 的分布求 f(x)的分布（特么我也不确定了），所以说如果你不给定你“随机”的方式，没人保证最后的期望是 1/3 ，所以说高等数学有用啊，大学无用论这不就看出来么，按照你的要求，我认为 A/(A+B+C)，其中 A 、 B 、 C 都是均匀分布反倒是最靠谱的答案，虽然这个也需要数学证明

[Quaintjade]

@qinjiannet
“在线段上随机取一点”一般不会有歧义，通常默认为连续均匀分布的概率。
“在线段上任取两点”通常默认为取两点是相互独立的。

但请注意以上只是习惯上默认，严格来说你应该用数学语言限定“随机”这个概念，否则就像 2 楼提到的「贝特朗悖论」那样，“在圆上随机取弦”就会导致歧义。

[Quaintjade]

@banixc 去问折棒太郎

[qinjiannet]

@murmur 第二种分配方法的期望的确是 1/3 ， 1/3 ， 1/3

[ProkillerJ]

蒙提霍尔悖论？

[Quaintjade]

@menc
一种比较直观的证明见：
https://www.zhihu.com/question/30359365/answer/122486961

[DiamondbacK]

@qinjiannet
「任意」和「随机」的含义是不同的。
在概率论中，「随机取样」和「随机样本」惯例上蕴含「等概率」条件，但「任意」这个词没有任何关于随机变量的分布函数的信息。

总之，问题在于应当先给出操作性定义或者分布函数，然后再计算。
但是「怎样正确地将 1 升水随机分成 3 份」这个问题的表述，其实是在问「什么样的分布 /操作才算是将 1 升水随机分成 3 份？」，这是在要求为一个未定义的操作给出定义。
如果还有后续问题，在某种定义基础上可以得出确定性答案的问题，比如问「将 1 升水随机分成 3 份，那么每一份的容积服从什么分布？」那么可以通过补充定义来修正这个问题。
如果没有后续问题，即这句话已经是问题的本身 /全部，那这就是个死胡同，是个语言陷阱。

[abcsuperman]

楼上正解。

[v9ox]

同 3 楼 9 楼

直接生成 3 个[0,1]随机数, 然后除以三.

提需求的人如果说不行, 再根据需求变更方案.

[tyrealgray]

不应该是拿三个盆子，两根管子，然后用连通器原理吸上个两口就可以搞定了么？？？？？

[yidinghe]

随机分成 N 份的意思可以理解为 0 和 1 之间出现随机不重复的 N-1 个数字。

[shierji]

我考虑过 这个其实就是微信红包问题

[powergx]

生成两个 0-1 的随机数 a 和 b, 第一份 = a, 第二份=b ,第三份 = 1-a-b

[9hills]

把水搅拌下，然后三等分。水分子随机进入三份中

[qian19876025]

额为嘛不是 1 先从 一升水的杯子里面 倒出 X 得到 第一个杯子 1-x 第二个杯子 x
2 再分别从 第一个杯子和第二个杯子 倒出 一些 给第三个 杯子呢 然后 就有了
第一个杯子 1-x -Y1 第二个杯子 里面 x -Y2 第三个杯子 Y1+ Y2

[qian19876025]

@tyrealgray 这方法额 学习了 不过好像杯子的容积 不好控制 但是比较容易操作 谢谢学习了

[Quaintjade]

@qian19876025
这样做的话，凭直觉判断，第一第二个杯子的期望是 0.25 升，第三个杯子的期望是 0.5 升

[SuujonH]

你这期望居然是给定的...

r1 = SUM/3 + random
r2 = SUM/3 + random
r3 = SUM - r1 - r2

把 random 定小一点？

[xcatliu]

如果随机的含义是，期望应该为 1/3 ，那么仍然有无数种分配方式。

[akstrom]

不是应该吗?如果要求都不为 0,就如下(所谓随机,只能是 1 跟 2 是随机,3 是被逼的...............)
1.x=rand(1,8);
2.10-x=y;rand(1,y-1);
3.10-x-y

[angusdwhite]

@SuujonH random 期望是 0 就可以了

[RqPS6rhmP3Nyn3Tm]

给一个尺度，强行普朗克常数好了，然后 combination 一下就能算出概率

[qian19876025]

@Quaintjade 额 我感觉这保证了 随机性

[angusdwhite]

X >= 0; Y >= 0; X + Y <= 1;

给出此区域上的一个分布，不就完了吗。这样的分布很多的，所以三杯水的期望不确定。

[joying]

生成一个[0,1]的随机数 X ，再生成一个[0,1]的随机数 Y'，这样三份水就是： X ， Y=Y'*(1-X)， Z=1-X-Y

[joying]

@joying 不对，这样似乎也是 1/2 ， 1/4 ， 1/4 。还是三楼的解法比较好，楼主的解法有需要重复的可能，感觉有点蛋疼。

[waytoexplorer]

零到一取两个随机数， a ＜ b ，三份水就是， a ， b-a ， 1-a-b 。这样似乎就没问题了吧？

[cxl008]

抽签问题呢？ 按顺序抽 每个人概率不是一样么。。。。

[angusdwhite]

@cxl008 不一样，这是连续模型，概率空间都不一样

[menc]

@murmur 随机的定义是要等可能的，要服从均匀分布，不要钦定一个大自然常见的分布

[murmur]

@menc 不要钦定均匀分布哈 random 这个词从来就没有均匀的定义

[abcsuperman]

随机的定义是要等可能的。。。高斯分布都偏到姥姥家了…不过话说回来，要是大自然绝大部分服从均匀分布…太惨烈了…被淘汰掉的哗哗的…

[murmur]

@abcsuperman 如果随机的定义是等可能，就不会有随机过程这本书了
不要拿一般去拼理论好么。。概率这是个严谨的东西，论坛上最容易撕的就是概率和物理，而且物理比这简单的多，一个浮力就能撕出几百楼来
概率你还得上条件概率

[CloudnuY]

问题等于：怎样将一份红包随机分为(发放个数)份？……

[Quaintjade]

@murmur
居然有人认为 1 升水能浮起 2 公斤木头，容我做个 doge 的表情

[ZRS]

@Quaintjade 我是🐟

[Hieast]

@lecher 这个思路最简单

[henneko]

1/2*1/3+1/4*2/3=1/3

[Adven]

随机生成三个随机数 x1,x2,x3,然后取 x1/（ x1+x2+x3 ）、 x2/（ x1+x2+x3 ）、 x3/（ x1+x2+x3 ）不可以么？

[abcsuperman]

@murmur 你说的对…我是说楼上的大哥 对随机理解有问题