程序员和数学 + 艺术的距离，只有几百行代码而已。

[mathzhaoliang]

原谅我用了一个公众号风格的标题。

读过三体的朋友，可能还能回忆起，刘慈欣在死神永生中对四维空间碎片有这样的描述：

首次从四维空间看三维世界的人，首先领悟到一点：以前身处三维世界时，他其实根本没看见过自己的世界，如果把三维世界也比做一张画，他看到的只是那张画与他的脸平面垂直放置时的样子，看到的只是画的侧面，一条线；只有从四维看，画才对他平放了。他会这样描述：任何东內都不可能挡住它后面的东西，任何封闭体的内部也都是能看到的。这只是一个简单独规则，但如果世界真按这个规则呈现，视觉上是极其震撼的。当所有的遮档和封闭都不存在，一切都暴露在外时，目击者首先面对的是相当于三维世界中亿万倍的信息量，对于涌进视觉的海量信息，大脑一时无法把握。

...

这时.他们不得不面对一个全新的视觉现象：无限细节。在三维世界里，人类的视觉面对的是有限细节，一个环境或事物不管多么复杂，呈现的细节是有限的，只要用足够的时间依次观看，总能把绝大部分细节尽收眼底。但从四维看三维时，由于三维事物在各个层次上都暴露在四维视野中，原来封闭和被遮挡的一切都平行并列出来。比如一个封闭容器，首先可以看到它内部的物体，而这些内部物体的内部也是可见的，在这无穷层次的暴露并列中，便显露出无限的细节。在莫沃维奇和关一帆面前的飞船，虽然一切都显露在眼前，但任何一个小范围内的一件小东西，比如一只水杯或一支笔，它们并列出来的细节也是无限的，枧觉也接收到无限的信息，用眼睛看时，穷尽一生也不可能看全它们在四维空间的外形。当一个物体在所有层次上都暴露在四维时，便产生了一种令人眩晕的深度感，像一个无限嵌套的俄罗斯套娃，这时，“从果核中看到无穷”不再是一 个比喻。

看到这一段的时候，我想大家都会好奇，当我们真正的身处四维空间的时候，看到的景象是什么样子的？

很抱歉，没有人知道答案，因为没有人能够进入四维空间。但是我们可以把四维空间中的物体投影到三维空间中，然后看看它的投影的结果是什么样子的。

下图是一个例子：（注意：无限细节!!!）

上面这四个图其实绘制的都是四维空间中的一个正多面体 120-cell 的各种截断的变体，真正的 120-cell 长这样：

它是一个四维空间中的正多面体的意思是：它有 600 个顶点，1200 条边，720 个面，120 个胞腔，所有这些顶点，边，面，胞腔在四维空间中全都一样。

当然在上面的图中显示的结果是有的边 /面大，有的小，这是因为在投影到三维空间的过程中发生了形变。这没有办法，毕竟不存在从四维空间到三维空间的保距离的投影，任何投影都会导致形变。

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这些图片都是由我刚刚完成的一个新项目生成的，代码在 github:

https://github.com/neozhaoliang/pywonderland

这个程序可以绘制的多面体很多，比如：

1.所有的柏拉图和阿基米德多面体：

2.各种三维和四维空间中的棱柱 /反棱柱：

昨晚主要是灵光一现，渲染了几个新图，觉得不错，所以拿上来臭美一下～，骗骗 star ～。

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这个子项目是怎么来的呢？我最初受到了一个非常精彩的数学视频的启发：维度 (这个是简体中文的链接），我第一次看这个视频的时候还是 08/09 年那会，甚是羡慕，但是那时太菜，完全不了解里面的数学，也不知道人家是怎么渲染的。现在博士都毕业了，也有了一些编程经历，这才琢磨明白里面的道道，可以做出与之媲美的效果了。大家可以移步

http://pywonderland.com/polytopes/

那个网页上有我用这个程序制作的小视频。我相信效果是不会让大家失望的。

这个代码只有几百行，用纯 python 计算好坐标以后导出到 POV-Ray 渲染，只用到 numpy 这个库，sage/sympy/mathematica 统统不需要。你看，不需要什么高深的工具，纯 python + 一个渲染器就可以做出媲美 Devianart 级别的艺术作来，而且这个作品背后的数学也很奇妙：我这里是根据每个多面体对应的 Coxeter-Dynkin 图，算出其对称群，然后把这个群作用在任意一个初始顶点上得到整个多面体。这跟网上那些把多面体数据事先存在一个文件里面的方式是不同的。

数学很奇妙，数学和编程的交集不只有机器学习，纯数学在编程的世界中也可以很奇妙。希望大家喜欢 pywonderland 这个项目。

[bwangel]

666，老哥很厉害啊！

[mathzhaoliang]

@bwangel 喜欢 + 花时间而已。

[Devilker]

想起区块链了

[mathzhaoliang]

@Devilker 那里面的数学主要是椭圆曲线公钥密码学 + 哈希算法。椭圆曲线是数学里面非常优美深刻的分支。唯一的隐忧是：一旦真正实现了量子计算，椭圆曲线密码学就会被淘汰。

[coffeSlider]

有一个很像星战中的飞行器。

[cskeleton]

让我想起了《维度 数学漫步》和《混沌 数学探秘》

[mathzhaoliang]

@cskeleton 就是受《维度》的启发写的。

[mathzhaoliang]

@cskeleton 我写这个项目的时候发邮件问过《维度》的作者之一 Jos Leys，他说他就是用 POV-Ray 渲染的。但是怎么计算的不知道。

[zhuanzh]

https://www.bilibili.com/video/av20203833
推荐下木鱼的《维度 数学漫步》解说

[fenx]

想起了这位 https://dribbble.com/shonk

[mathzhaoliang]

@fenx 我不认为那些作品可以和我这个项目里的媲美～　主要是那些作品只是简单的几何图形，并没有多少复杂的数学支撑。

[mayne95]

结构美，赞！

[mathzhaoliang]

@mayne95 这只是开胃菜，后面还有更多更神奇的！

[mayne95]

@mathzhaoliang 期待，满眼星星.jpg

[mathzhaoliang]

@mayne95 下一个项目是重现 Escher 的 circle limit:


以及渲染 4 维空间中的双曲蜂巢：

https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_honeycombs_in_hyperbolic_space

这个里面的数学比之前所有这些加起来还要难。

[mayne95]

@mathzhaoliang 感谢楼主的帖子和项目，顺藤摸瓜，发现了很多好玩的东西。Escher 的画真的很棒，GEB 还没看完，又来个维度，真幸福。

[OfficialYoungX]

[quanta magazine]( https://www.quantamagazine.org)了解一下？

[mathzhaoliang]

@OfficialYoungX 好像是个科普网站？

[darkcode]

有意思，就是想到这些就害怕

[hmzt]

效果很赞,不过感觉刘慈欣对高维和低维空间的理解有问题,夏虫不可语冰,三维空间的我们是无法想象和模拟真实的四维的.

[mathzhaoliang]

@hmzt 他的描述也不能说有问题，我们在三维空间中看物体无法看到全貌，是因为前面的物体会遮挡住后面的物体。但是如果把三维的物体放到四维中，将物体的 "深度信息" 作为第四个坐标，那就不存在遮挡了，所有的物体均一览无余。你如果知道计算机图形学里面的 depth buffer 和 distance field 的概念就很容易理解。

[USNaWen]

第 7，8 章的拓扑那边卡住了。。。纤维化真难懂

[mathzhaoliang]

@USNaWen 也不是很难懂，数学专业的话理解起来好一些。

[eluotao]

很厉害 不得不承认....

[sdijeenx]

话说这些图片不是四维物体的平面投影么？（不使用 3D 显示器看的话

[sdijeenx]

p.s. 介绍这个视频的帖子最早我是在科幻世界论坛上看到的，距今已经 9 年了=3=

[mathzhaoliang]

@sdijeenx 我还记得我初中每个月花５块钱买科幻世界小说杂志呢。那时候刘慈欣，阿来，王晋康的文章还经常能看到。

[mathzhaoliang]

@sdijeenx 严格的说，是四维欧式空间中的正多面体 /一致多面体在三维欧式空间中的投影。

[mathzhaoliang]

@sdijeenx 因为四维空间还可能是双曲度量下的 minkowski 空间，这个双曲空间中的正多面体是这样的：


[amorpaganini]

有趣

[wwg1994]

瑟瑟发抖(((φ(◎ロ◎;)φ)))

[mosbic]

想看 Klein bottle