三维空间中不在同一平面的两个向量 A 、B 相加之后的向量必定和 A 在同一平面么？（这个节点下有很多数学高手，故此来碰碰运气）

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这是一个创建于 1519 天前的主题，其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。

http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=forumdisplay&fid=5

因为需要配图说明，因此只好在别的论坛发帖子，然后将链接发出来。还请各位移步数学中国看一下正题。在这里回答即可。谢谢！

向量

数学

同一

正题

18 条回复 • 2020-10-25 19:15:02 +08:00

user8341

2020-10-25 13:41:19 +08:00

三点才能确定一个平面。

““两个向量不在同一个平面””——这完全是说胡话。

user8341

2020-10-25 13:42:36 +08:00

A 和 B 相加后得到向量 C 。C 必然在 A 、B 所确定的平面内。

sNullp

2020-10-25 13:44:52 +08:00 via iPhone

专门登陆来回复，但想说的楼上已经都说了。

Hlianbobo

2020-10-25 13:50:23 +08:00

@user8341 我在这里发出的信息有限，恐怕给你造成误解了。请你看一下原帖，谢谢！

rrfeng

2020-10-25 13:57:33 +08:00

自由向量可以随便平移的，所以不存在『不在同一平面的两个自由向量』。
只要移到首尾相连的位置（相加），显然是结果在同一平面上。

如果是固定向量，那么两个不在同平面的向量无法相加（或者说在我认知中没有有意义的加法操作定义）。

neteroster

2020-10-25 14:10:46 +08:00 via Android

说「向量 a 所在的平面」和「不在同一平面的两个向量」这样的话是完全没有意义的。一般意义下，向量可以任意平移。
我觉得你需要的是向量共面定理：
「如果两个向量 a, b 不共线，则向量 p 与向量 a, b 共面的充要条件是存在有序实数对(x,y) 使 p=xa+yb 」
其中，「向量共面」的定义是：「能**平移**到一个平面上的三个向量称为共面向量。」

Hlianbobo

2020-10-25 14:15:03 +08:00

@rrfeng 我在这里发出的信息有限，恐怕给你造成误解了。请你看一下原帖，谢谢！

Hlianbobo

2020-10-25 14:15:19 +08:00

@neteroster 我在这里发出的信息有限，恐怕给你造成误解了。请你看一下原帖，谢谢！

Hlianbobo

2020-10-25 14:15:32 +08:00

@sNullp 我在这里发出的信息有限，恐怕给你造成误解了。请你看一下原帖，谢谢！

rrfeng

2020-10-25 14:20:08 +08:00

@Hlianbobo
就不看。

lambdafate

2020-10-25 14:46:02 +08:00

@rrfeng 哈哈哈哈哈哈哈

finalwave

2020-10-25 15:28:27 +08:00

帖子链接都没发对，GeoGebra 链接也挂了。。。
该说的内容论坛里别人也说了，这里别人也说完了。还没搞懂建议回去继续复习几遍教材。

user8341

2020-10-25 15:35:17 +08:00

你的题目：x + y - 2z = 2，这个平面不是过原点的平面哦。
x + y - 2z = 2 这个平面是：过(2, 2, 1)点，作一个与 Span(u, v)平行的平面，而得到的那个平面。

(cost)u + (sint)v 是以原点为中心的圆。

圆心平移到(2, 2, 1)点，也还是一个圆。

user8341

2020-10-25 15:50:34 +08:00

V 向量加 U 向量，可以看成是 V 的终点沿着与 U 平行的方向移动了|U|距离，得到一个新的终点。
由于 u 、v 都与平面 x + y - 2z = 2 平行，所以(2, 2, 1)这个点移动以后，新终点仍然在这个平面上。