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春节放假会了老家,停更了很多天,这是年后连夜肝出来的第一篇文章,先来聊聊春节放假期间发生的事,这次回家遇到了我学生时代的女神,当年她在我心目中那是
"出淤泥而不染、濯清涟而不妖"
没想到这次遇到了她,身体发福,心目中女神的形象瞬间碎了,就像达芬奇再次遇到了蒙娜丽莎
"菡萏香销翠叶残"
好了,言归正传。
有时候我们可以需要判断在大型网络中两台计算机是否相连,是否需要建立一条新的连接才能通信;或者是在社交网络中判断两个人是否是朋友关系(相连表示是朋友关系)。在这种应用中,通常我们可能需要处理数百万的对象和数亿的连接,如何能够快速的判断出是否相连呢?这就需要使用到 union-find 算法
假如输入一对整数,其中每个数字表示的是某种对象(人、地址或者计算机等等),整数对 p,q 理解为“p 与 q 相连”,相连具有以下特性:
对象如何与数字关联起来,后面我们聊到一种算法符号表
假设相连是一个种等价关系,那么等价关系能够将对象划分为多个等价类,在该算法中,当且仅当两个对象相连时他们才属于同一个等价类
整个网络中的某种对象称为触点
将整数对称为连接,将等价类称作连通分量或者简称分量
union-find 算法的目标是当程序从输入中读取了整数对 p q 时,如果已知的所有整数对都不能说明 p q 是相连的,那么将这一对整数输出,否则忽略掉这对整数;我们需要设计数据结构来保存已知的所有整数对的信息,判断出输入的整数对是否是相连的,这种问题叫做动态连通性问题。
public interface UF {
void union(int p, int q); //在 p 与 q 之间添加一条连接
int find(int p); //返回 p 所在分量的标识符
boolean connected(int p, int q); //判断出 p 与 q 是否存在于同一个分量中
int count(); //统计出连通分量的数量
}
如果两个触点在不同的分量中,union 操作会使两个分量归并。一开始我们有 N 个分量(每个触点表示一个分量),将两个分量归并之后数量减一。
抽象实现如下:
public abstract class AbstractUF implements UF {
protected int[] id;
protected int count;
public AbstractUF(int N) {
count = N;
id = new int[N];
for (int i = 0; i < N; i++) {
id[i] = i;
}
}
@Override
public boolean connected(int p, int q) {
return find(p) == find(q);
}
@Override
public int count() {
return count;
}
}
接下来我们就主要来讨论如何实现 union 方法和 find 方法
这种算法的实现思路是在同一个连通分量中所有触点在 id[]中的值都是相同的,判断是否连通的 connected 的方法就是判断 id[p]是否等于 id[q]。
public class QuickFindImpl extends AbstractUF {
public QuickFindImpl(int N) {
super(N);
}
@Override
public int find(int p) {
return id[p];
}
@Override
public void union(int p, int q) {
int pId = find(p);
int qId = find(q);
if (pId == qId) { //如果相等表示 p 与 q 已经属于同一分量中
return;
}
for (int i = 0; i < id.length; i++) {
if (id[i] == pId) {
id[i] = qId; //把分量中所有的值都统一成 qId
}
}
count--; //连通分量数减一
}
}
为了提高 union 方法的速度,我们需要考虑另外一种算法;使用同样的数据结构,只是重新定义 id[]表示的意义,每个触点所对应的 id[]值都是在同一分量中的另一个触点的名称
在数组初始化之后,每个节点的链接都指向自己; id[]数组用父链接
的形式表示了森林
,每一次 union 操作都会找出每个分量的根节点
进行归并。
public class QuickUnionImpl extends AbstractUF {
public QuickUnionImpl(int N) {
super(N);
}
@Override
public int find(int p) {
//找出 p 所在分量的根触点
while (p != id[p]) {
p = id[p];
}
return p;
}
@Override
public void union(int p, int q) {
int pRoot = find(p); //找出 q p 的根触点
int qRoot = find(q);
if (pRoot == qRoot) { //处于同一分量不做处理
return;
}
id[pRoot] = qRoot; //根节点
count--;
}
}
find 方法需要访问数组 n-1 次,那么 union 方法的时间复杂度是 O(n²)
为了保证 quick-union 算法最糟糕的情况不在出现,我需要记录每一个树的大小,在进行分量归并操作时总是把小的树连接到大的树上,这种算法构造出来树的高度会远远小于未加权版本所构造的树高度。
public class WeightedQuickUnionImpl extends AbstractUF {
private int[] sz;
public WeightedQuickUnionImpl(int N) {
super(N);
sz = new int[N];
for (int i = 0; i < N; i++) {
sz[i] = 1;
}
}
@Override
public void union(int p, int q) {
int pRoot = find(p); //找出 q p 的根触点
int qRoot = find(q);
if (pRoot == qRoot) { //处于同一分量不做处理
return;
}
//小树合并到大树
if (sz[pRoot] < sz[qRoot]) {
sz[qRoot] += sz[pRoot];
id[pRoot] = qRoot;
} else {
sz[pRoot] += sz[qRoot];
id[qRoot] = pRoot;
}
count--;
}
@Override
public int find(int p) {
//找出 p 所在分量的根触点
while (p != id[p]) {
p = id[p];
}
return p;
}
}
union-find 算法只能判断出给定的两个整数是否是相连的,无法给出具体达到的路径;后期我们聊到图算法可以给出具体的路径
算法 | union() | find() |
---|---|---|
quick-find 算法 | N | 1 |
quick-union 算法 | 树的高度 | 树的高度 |
加权 quick-union 算法 | lgN | lgN |
文中所有源码已放入到了 github 仓库https://github.com/silently9527/JavaCore
参考书籍:算法第四版
1
Olament 2021-02-22 11:03:01 +08:00
Path compression 呢
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2
theRealWhexy 2021-02-22 11:13:30 +08:00 via iPhone
第一次看到并查集写得这么长。厉害了!👍️
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3
Baratheon 2021-02-22 11:13:47 +08:00 1
根据邓巴指数的指导……150 个人作为社交关系上限的情况下,对这玩意儿的检测可能有点多余
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4
ThanksSirAlex 2021-02-22 11:19:55 +08:00
实际业务都用图数据库了,只不过图数据库里面本身可能会用并查集做查找
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5
lance6716 2021-02-22 11:50:55 +08:00 via Android
所以就是把<算法第四版>的代码搬运了一下?
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6
jones2000 2021-02-22 12:09:02 +08:00
"如何检测社交网络中两个人是否是朋友关系?"
首先你要把这两个人的个人信息和隐私(同学,亲戚,同事,各个聊天软件里的好友等等.......)都收集到, 然后才是算法。 |
7
yianing 2021-02-22 12:12:00 +08:00 via Android 1
我的朋友的朋友,不一定是我的朋友
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8
no1xsyzy 2021-02-22 15:44:04 +08:00
并查集的英文是 Disjoint-set
时间复杂度是反 Ackermann 函数…… 顺便,每次搜索可以把整条路上的节点全部设到根节点上去。 用递归写这一段非常爽 find_parent(s): s.parent = find_parent(s.parent) |
10
Ethson 2021-02-23 09:09:35 +08:00
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