学好概率统计需要“数学分析”的底子么？还是说学好“微积分”就够用了？

[huzhikuizainali]

原来我翻了一本国内的数学分析教材，印象是数学分析和微积分的区别是，淑芬偏证明。微积分偏应用。后来我看了知乎上一些比较有了新的认识！引用如下：

1 、而数学分析与以上两门课程（微积分、高等数学）有着本质的区别,数学分析作为数学系本科生的基础课是整个分析学的基础。什么是分析学?是分析变量以及诸多变量之间关系的学科,在数学中主要利用函数来刻画变量与变量间的关系,所以数学分析的研究主体应当是函数。在中学,我们已经学习过六类简单初等函数(常指对幂,正反三角),并且学习过一些研究初等函数的手段,但这些函数都是极其特殊的,比如他们都是逐段连续的,并且是无穷阶可导的。而学习数学分析的目的就是将函数系进行大范围扩张,去学习并且研究那些解析式不规则、不连续或者不可导的函数,这样的函数比起连续的函数可以说要多无穷多倍。那用什么方式去刻画这样的函数呢?数学分析中介绍的方法主要有两个:变限积分(尽管 Riemann 可积函数的变限积分也是连续的)与函数项级数。特别的,所有的初等函数都可以表示为函数项级数,但函数项级数要比初等函数的范围大很多很多,我们可以利用它构造各种千奇百怪的函数,例如处处不可导的连续函数,在有界区间内图像长度为无穷大的函数等等。这些函数的表示要比初等函数复杂很多,研究其变化性质就会变得困难得多,对此我们需要学习一些系统的定理与方法,将这些知识组合在一起就构成了数学分析这门学科。与微积分、高等代数有明显的区分,学数学分析的目的不是学习导数或者积分这样的运算,而是要扩大函数范围,学习研究复杂函数的方法。

2 、不是只有数学系才需要学数学分析。需不需要数学分析，取决于你所要处理的函数是不是光滑性不太好。研究光滑性很好的函数只需要微积分就够了。只有研究光滑性不太好的函数，才需要用到数学分析中的关于函数的局部性质的分析，以及各种函数数列的收敛性（因为需要用光滑性好的函数逼近不好的函数）。比如很多物理和力学中的偏微分方程的解都没有很好的光滑性，还有通信中需要处理的信号往往也没有很好的光滑性。当然，根据研究的深入，我们还需要更精细的分析比如 Fourier 分析，调和分析和小波分析。所以，像物理，力学，通信工程这样的专业都需要数学分析，或者说需要用数学分析中的比较精细的研究方法来处理函数。


----------------问题
1 、以上关于淑芬和微积分的比较是否正确？是否有重大遗漏？
2 、概率，统计学到后面，是否会用到初等函数以外的内容? 并要研究他们的导数和积分？比如学到高等概率论。或者更深入的统计学。